Divergence stability in connection with the p-version of the finite element method

— Many problems in continuüm mechanics involve an incompressibility condition, usually in the form of a divergence constraint. The numerical discretization of such a constraint présents some interesting problems with regard to stabïlity. In this paper we analyze certain stability properties, typical of high degree, conforming finite element approximations for problems with a divergence constraint, The results in this paper complement the results already published in [18] and [24]. Resumé. — De nombreux problèmes en mécanique des milieux continus font appel à une condition d'incompressibilité, le plus souvent sous forme d'une contrainte sur l'opérateur de divergence. La discrétisation numérique d'une contrainte présente quelques problèmes intéressants en ce qui concerne la stabilité. Dans cet article nous analysons certaines des propriétés les plus courantes qui découlent des approximations, par des méthodes d'éléments finis conformes de degré élevé, dans le cadre de problèmes soumis à cette contrainte sur l'opérateur de divergence. Les résultats de cet article complètent les résultats déjà publiés dans les références [18] et [24]. 0. INTRODUCTION Many problems in continuüm mechanics involve an incompressibility condition, usually in the form of a divergence constraint. The numerical discretization of such a constraint présents some interesting problems with regard to stability. As an important exemple we consider the two-dimensional Stokes équations . -AU+WP = F i n f t ç R 2 , V' U = 0 in £ï , (*) Received in June 1989. This research was partially supported by ONR contract N00014-87-K-0427 (S.J.), ONR contract N00014-85-K-0169, NSF grant DMS-8601490 and the Sloan Foundation (M.V.). () Department of Mathematics, University of Maryland, Baltimore, MD 21228, U.S.A. () Department of Mathematics, Rutgers University, New Brunswick, N.J. 08903, U.S.A. MAN Modélisation mathématique et Analyse numérique 0764-583X/90/06/737/28/$ 4.80 Mathematical Modelling and Numerical Analysis (§) AFCET Gauthier-Villars 738 S. JENSEN, M. VOGELIUS with appropriate boundary conditions on BO. This has the standard weak formulation (2) Find U e iT ç [H(D,)] and P e HT c L (fl) such that a(U9 v) + b(v,P) = (£, v) Vve-T b(U,q) = 0 VqeiT. The bilinear forms a and b are given by